Igualdad de números complejos

Con los números complejos en forma binómica se calcula como con los números reales, teniendo en cuenta que i2 = - 1 y que los múltiplos i de no son comparables con los números reales, por tanto la igualdad de los números complejos exige la igualdad de sus componentes, es decir:

Veamos algunos ejemplos relacionados con la igualdad de números complejos.

EjemploEjemplo 1

Sean Z1 = 3x + yi + 2i y Z2 = - 6 - i.

Determina los valores de x e y para los cuales se cumple que Z1 = Z2.

Teniendo en cuenta el recuadro anterior, debemos igualar las partes reales y las partes imaginarias de cada número complejo dado.

Z1 = 3x + yi + 2i = 3x + (y + 2)i

Solución:

Igualando las partes reales:

3x = - 6

x = - 2.

Igualando las partes imaginarias:

y + 2 = - 1

y = - 3.

Respuesta: La igualdad se cumple para x = - 2 ; y = - 3.

EjemploEjemplo 2

Determina los valores de a y b para los cuales se cumple que

a2 + 3a - 2i = 4 + (2b - 1)i.

Solución:

Igualando las partes reales:

a2 + 3a = 4

a2 + 3a - 4 = 0

(a + 4)(a - 1) = 0

a = - 4 o a = 1.

Igualando las partes imaginarias:

- 2 = 2b - 1

2b = - 1

b = - 0,5.

Respuesta: La igualdad se cumple para a = - 4 o a = 1 y b = - 0,5.

EjemploEjemplo 3

Determina los valores de a y b para que se cumpla la igualdad de los números complejos:

Z1 = 2a + b - 7i y Z2 = ai - 3bi.

Solución:

Ten en cuenta que:

Z1 = (2a + b)- 5i , luego R(Z1) = 2a + b y I %IOTA (Z1) = - 7.

Z2 = (a - 3b)i, luego R(Z2) = 0 y I %IOTA (Z1) = a - 3b.

Igualando las partes reales:

2a + b = 0

Igualando las partes imaginarias:

a - 3b = - 7

Como ambas ecuaciones contienen las variables a y b, formamos un sistema de dos ecuaciones con dos variables y lo resolvemos:

2a + b = 0

a - 3b = - 7

cuyo conjunto solución es a = - 1 y b = 2.

Respuesta: La igualdad se cumple para a = - 1 y b = 2.