Conjunto de los números complejos

Como comprobaste en el punto anterior cada nuevo dominio numérico surge por necesidades intra y extra matemáticas, o sea, para resolver alguna insuficiencia que tenía el dominio anterior.

¿Existirán entonces problemas con sentido práctico que conduzcan a la necesidad de crear nuevos números a partir de los números reales?

La respuesta es sí, y uno de ellos fue la necesidad de resolver ecuaciones que no tenían solución en el dominio de los números reales, por ejemplo la ecuación x2 = 4x - 5.

Al calcular el discriminate se obtiene D = - 4 < 0, por lo que la misma no tiene solución en el conjunto de los números reales.

¿Cómo dar solución a este problema práctico?

Para resolver esta situación se adjunta un elemento que se denotará por i, y satisfaga la igualdad

i2 = - 1. A este elemento se le llama unidad imaginaria.

Al operar con los números reales junto a la unidad imaginaria se obtienen los llamados números complejos, que se denotan por C.

DefiniciónNúmeros complejos

Se llaman números complejos a los números expresados en la forma a + ib, con a,b ∈ %element R.

A esta forma de expresión se le denomina forma binómica.

Luego, todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i.

- se llama parte real y se denota R(z) al número real a,

- se llama parte imaginaria y se denota I(z) al número real b.

Son ejemplos de números complejos:

Z = 2 + 3i , donde R(z) = 2; I(z) = 3

Z = - 1 - i, donde R(z) = - 1 ; I(z) = -1

Z = 2i, donde R(z) = 0; I(z) = 2. Este número es imaginario puro, ya que su parte real es igual a cero.

Z = 5, donde R(z) = 5 ; I(z)) = 0. Este número es real, ya que su parte imaginaria es cero.