Operaciones con números complejos en forma binómica [Números Complejos. Forma binómica]

Operaciones con números complejos en forma binómica

Al operar con números reales aplicaste distintas reglas y operaciones de cálculo que te permitieron realizar las operaciones básicas de manera individual o combinada.

En este tema, debes también saber realizar dichas operaciones para resolver ejercicios como

el siguiente: (2 + 3i)² - i(i- 2) + 7i⁴ , donde debes operar con la unidad imaginaria.

Es por ello, que en este tema profundizaremos en los elementos necesarios para realizar estas operaciones.

:

Para realizar las operaciones básicas con los números complejos, debes tener en cuenta que:

para la adición y sustracción se utilizan las mismas reglas que utilizaste para calcular con números reales, solo que se adicionan o sustraen las partes correspondientes entre sí, o sea, real con real o imaginaria con imaginaria.
para la multiplicación debes tener en cuenta las reglas para la eliminación de signos de agrupación estudiadas en grados anteriores., así como los productos notables.
para la división debes tener en cuenta la operación de racionalización estudiada en el tema radicales.
y para la potenciación debes tener en cuenta las potencias de i que se relacionan a continuación:

En el caso de las operaciones combinadas, se mantiene el orden operacional:

potencias y raíces.
multiplicación y división en el orden que aparecen.
adición y sustracción.

En el caso de haber signos de agrupación se aplican estos pasos dentro de los mismos.

Ejemplo : Ejemplo 1

Si Z = 2i(i - 2) - (3i + 1) + 5i, determina el conjugado de Z.

Solución:

Z = 2i(i - 2) - (3i + 1) + 5i

Z = 2i² - 4i - 3i - 1 + 5i (eliminando los signos de agrupación)

Z = - 2 - 2i - 1 (sustituyendo i² = -1 y reduciendo términos semejantes)

Z = - 3 - 2i (reduciendo términos semejantes)

Respuesta: El conjugado de Z es - 3 + 2i.

Ejemplo : Ejemplo 2

Efectúa los cocientes siguientes:

a) $4 1 + i {4} over {1 + i}$

b) $1 − 2i {1} over {-2i}$

c) $62 2 − i {6{sqrt{2}} } over {sqrt{2}- i }$

Solución:

a) $4 1 + i {4} over {1 + i}$

$4 1 + i . 1 − i 1 − i {4} over {1 + i} . {1 - i} over {1 - i}$ (multiplicando por la conjugada del denominador)

= $4 (1 − i) 12 + 12 {4(1 - i)} over {1^{2} + 1^{2}}$ (efectuando el producto en el denominador)

= $4 (1 − i) 2 {4(1 - i)} over {2}$ (adicionando)

= $2 (1 − i) = 2 − 2i {2(1 - i)} = 2 - 2i$ (simplificando y efectuando el producto indicado)

b) $1 − 2i {1} over {-2i}$

$1 − 2i . 2i 2i {1} over {-2i} . {2i} over {2i}$ (multiplicando por la conjugada del denominador)

= $2i 02 + (− 2) 2 {2i} over {0^{2}+ (-2)^{2}}$ (efectuando el producto del denominador)

= $2i 4 {2i} over {4}$ (adicionando)

= $12 i {1} over {2}i$ .(simplificando)

c) $62 2 − i {6{sqrt{2}} } over {sqrt{2}- i }$

$62 2 − i . 2 + i 2 + i {6{sqrt{2}} } over {sqrt{2}- i } . {sqrt{2}+ i } over {sqrt{2}+ i }$ (multiplicando el numerador y el denominador por la conjugada del denominador)

= $62 (2 + 1) (2) 2 + 12 {6{sqrt{2}}(sqrt{2}+ 1) } over {(sqrt{2}) ^{2} + 1^{2}}$ (efectuando el producto en el denominador)

= $62 (2 + 1) 2 + 1 {6{sqrt{2}}(sqrt{2}+ 1) } over {2 + 1}$ (efectuando los cuadrados)

= $62 (2 + 1) 3 {6{sqrt{2}}(sqrt{2}+ 1) } over {3}$ (adicionando)

= $22 (2 + 1) {2{sqrt{2}}(sqrt{2}+ 1)}$ (simplificando)

= $4 + 2 2 4 + 2{sqrt{2}}$ (efectuando el producto resultante).

Meditar :

Al efectuar la división de números complejos ten en cuenta que:

1. Multiplicas el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador.

2. El producto en el denominador siempre es el de un número y su conjugado, por lo que debes aplicar la expresión obtenida en el subtema anterior, o sea, a² + b².

3. No efectuar el producto en el numerador hasta ver si es posible simplificar.

Ejemplo : Ejemplo 3

Calcula:

a) i³⁵.

b) i²⁰²⁰.

c) i⁵¹⁰.

d) i⁸¹.

Solución:

Teniendo en cuenta las potencias de i en el recuadro inicial, debes siempre dividir el exponente por 4 y tomar el resto.

Ejemplo : Ejemplo 4

Calcula: (2 + 3i)² - i(i- 2) + 7i⁴

Solución:

(2 + 3i)² - i(i- 2) + 7i⁴

= 4 + 12i + 9i² - i² + 2i + 7i⁴ (eliminando los paréntesis aplicando productos notables)

= 4 + 14i + 8i² + 7 (reduciendo términos semejantes y sustituyendo i⁴ = 1)

= 11 + 14i - 8 (sustituyendo i² = - 1)

= 3 + 14i.

Respuesta: 3 + 14i.