Números complejos conjugados. Opuesto y módulo de un número complejo. [Números Complejos. Forma binómica]

Números complejos conjugados. Opuesto y módulo de un número complejo.

Durante el estudio de los números reales pudiste determinar el opuesto y el módulo de cada uno.

Por ejemplo, recordarás que el opuesto de - 5 es 5 y su módulo $− 5 = 5 abs{- 5} = 5$ . De manera particular sabes que el opuesto de cero es cero.

Para los números complejos también es necesario conocer los conceptos de opuesto y módulo, así como su expresión conjugada, elementos que se abordan a continuación.

:

Como has podido apreciar, un número complejo es una expresión de la forma a + bi, donde i es la unidad imaginaria , mientras que a y b son números reales.

O sea, un número complejos es la suma de un número real y el producto de la unidad imaginaria por un número real.

Definición : Conjugado de un número complejo

Dos números complejos se llaman conjugados si difieren solo en el signo de la parte imaginaria.

En símbolos:

Ejemplo :

A partir de la definición anterior puedes analizar los ejemplos siguientes:

Ten en cuenta que el conjugado de un número complejo cuya parte imaginaria es igual a cero, es el mismo número.

:

También es importante conocer algunas relaciones que se cumplen entre un número complejo y su conjugado, las que puedes utilizar directamente al operar con ellas.

Observación : Opuesto de un número complejo

Dos números complejos son opuestos si difieren tanto en el signo de la parte real como en el signo de la parte imaginaria.

Por ejemplo:

Si Z = 2 + 3i, entonces su opuesto es - 2 - 3i.

Si Z = 3,2 - i, entonces su opuesto es - 3,2 + i.

Si Z = 5i, entonces su opuesto es - 5i.

Si Z = 7, entonces su opuesto es - 7.

Definición : Módulo de un número complejo

Se llama módulo de un número complejo Z y se denota $Z abs{Z}$ , al número real $z ⋅ z ˉ sqrt{z cdot bar z }$

Teniendo en cuenta las relaciones anteriores se puede deducir que:

Como puedes apreciar, el módulo de un número complejo y el de su conjugado son iguales.

Ejemplo : Ejemplo 1

Si Z = 3 - 4i, determina:

a) Su conjugado.

b) Su opuesto.

c) Su módulo.

Respuesta:

a) Su conjugado.

$Z ¯ = 3 + 4i overline {Z} = 3 + 4i$ , (cambiando el signo de la parte imaginaria).

b) Su opuesto.

Z = - 3 + 4i, (cambiando el signo de ambas partes)

c) Su módulo.

$Z = a 2 + b 2 abs{Z} = sqrt{a^{2}+ b^{2}}$

$Z = 32 + (− 4) 2 abs{Z} = sqrt{3^{2}+ (-4) ^{2}}$

$Z = 9 + 16 abs{Z} = sqrt{9+ 16}$

$Z = 25 abs{Z} = sqrt{25}$

$Z = 5 abs{Z} = 5$ .

Ejemplo : Ejemplo 2

Si Z = - 2i, determina:

a) Su conjugado.

b) Su opuesto.

c) Su módulo.

Respuesta:

a) Su conjugado.

$Z ¯ = 2i overline {Z} = 2i$ , (cambiando el signo de la parte imaginaria).

b) Su opuesto.

Z = 2i, (cambiando el signo de la parte imaginaria)

c) Su módulo.

$Z = 02 + (− 2) 2 = 4 = 2 abs{Z} = sqrt{0^{2}+ (- 2)^{2}} = sqrt{4} = 2$ .

Ejemplo : Ejemplo 3

Si Z = 3, determina:

a) Su conjugado.

b) Su opuesto.

c) Su módulo.

Respuesta:

a) Su conjugado.

$Z ¯ = 3 overline {Z}= 3$ , (el número n tiene parte imaginaria, por lo que su conjugado

es el mismo número).

b) Su opuesto.

Z = - 3, (cambiando el signo de la parte real)

c) Su módulo.

$Z = 32 + 02 = 9 = 3 abs{Z} = sqrt{3^{2}+ 0^{2}} = sqrt{9} = 3$

Meditar :

Como puedes apreciar en los dos últimos ejemplos:

1. El módulo de un número complejo al que le falta una de las partes, la real o la imaginaria, es igual al módulo o valor absoluto de a, si es real, o de b, si es imaginario puro.

2. El conjugado de un número complejo real es igual al mismo número.