Resolución de ecuaciones en el dominio de los números complejos

Al iniciar el tema nos planteamos la posibilidad de resolver la ecuación cuadrática x2 = 4x - 5, cuyo discriminate D = - 4 < 0, por lo que la misma no tiene solución en el conjunto de los números reales.

Sin embargo ya estamos en condiciones de resolverla con los conocimientos adquiridos sobre los números complejos en este tema.

Estudio de caso

Veamos cómo proceder en estos casos:

1. Igualamos la ecuación a cero: x2 - 4x + 5 = 0.

2. Calculamos el discriminante: D = - 4.

3. Aplicamos la fórmula general de resolución:

a = 1, b = - 4 y c = 5

x 1,2 = − b ± D 2a x_{1,2}= {- b +-sqrt{D} } over {2a}

x 1,2 = 4 ± − 4 2 x_{1,2}= {4 +-sqrt{- 4} } over {2}

x 1,2 = 4 ± 4i 2 2 x_{1,2}= {4 +-sqrt{4i^{2}} } over {2} (sustituimos el signo menos por i2)

x 1,2 = 4 ± 2i 2 x_{1,2}= {4 +-2i } over {2} (Calculamos la raíz cuadrada)

x 1,2 = 2 ± i x_{1,2}= 2 +- i (Dividimos por 2)

Como puedes observar las soluciones de la ecuación son los números complejos

x1 = 2 + i y x2 = 2 - i.

Otros ejemplos interesantes de resolución de ecuaciones en el conjunto de los números complejos son los siguientes:

Ejemplo

Halla el conjunto solución de:

a) x2 + 4 = 0.

Solución:

x 2 + 4 = 0 x^{2}+ 4 = 0

x 2 = − 4 x^{2} = - 4 (Despejando x2)

x = ± − 4 x = +-sqrt{- 4} (Eliminando el cuadrado con la operación inversa)

x = ± 4i 2 x = +-sqrt{4i^{2}} (Com0 - 4 = - 1 . 4, cambiando - 1 por i2)

x = ± 2i x = +- 2i . (extrayendo la raíz cuadrada)

Respuesta: S = { ± 2i } S = lbrace +-2i rbrace .

b) x3 + 25x = 0.

Solución:

x 3 + 25x = 0 x^{3}+ 25x = 0

x ( x 2 + 25 ) = 0 x(x^{2}+ 25) = 0 (extrayendo factor común)

x = 0 o x 2 + 25 = 0 x = 0 o x^{2}+ 25 = 0 (igualando a cero cada factor)

x 2 = − 25 = 0 x^{2}= - 25 = 0 (transponiendo)

x = − 25 x = sqrt{- 25} (despejando x)

x = 25i 2 = ± 5i x = sqrt{25i^{2}} = +-5i (sustituyendo - 1 por i2 y extrayendo la raíz cuadrada)

Respuesta: S = { 0 ; ± 5i } S = lbrace 0 ; +-5i rbrace