Ejercicio: Busca la soluciones [Inecuaciones logarítmicas]

Ejercicio: Busca la soluciones

¿ Cuál es la solución de la inecuación $log 12 x + 2 x − 1 ≤ 1 log {12 x + 2} over {x - 1} leslant 1$ ?

La solución de la inecuacion $log 12 x + 2 x − 1 ≤ 1 log {12 x + 2} over {x - 1} leslant 1$ se obtiene de la siguiente forma:

1. Sustituir el 1 por un logaritmo equivalente es decir con igual base en esta caso 10y cuyo resultado sea 1

$log 12 x + 2 x − 1 ≤ log 10 log {12 x + 2} over {x - 1} leslant log 10$

2. Analizar las características de la base del logaritmo,para aplicar la propiedad de monotonía de los logaritmos

$12 x + 2 x − 1 ≤ 10 {12 x + 2} over {x - 1} leslant 10$

3. Se transpone los términos y se compara con cero

$12 x + 2 x − 1 − 10 ≤ 0 {12 x + 2} over {x - 1}- 10 leslant 0$

4. Resolver la operación indicada y se reduce términos semejantes

$12 x + 2 − 10 x + 10 x − 1 ≤ 0 {12 x + 2 - 10 x + 10 } over {x - 1} leslant 0$

$2 x + 12 x − 1 ≤ 0 {2 x + 12 } over {x - 1} leslant 0$

5. Se factiriza la expresión para buscar los ceros y se realiza el análisis de los signos

$2 (x + 6) x − 1 ≤ 0 {2 (x + 6 ) } over {x - 1} leslant 0$

6. Se busca el dominio del logaritmo según la definicion se tiene

$12 x + 2 x − 1 > 0 {12 x + 2 } over {x - 1} > 0$

$2 (6 x + 1) x − 1 > 0 {2(6 x + 1) } over {x - 1} > 0$

7. Por lo que para el dominio

8. Ahora se intersectan ambos resultados para obtener la solución, a partir de los elementos comunes

9.De esta forma el conjunto solucion puede ser escrita de la forma :

$S = {x ∈ ℝ; – 6 ≤ x < 1} S = lbrace x in setR ; %kkkk 6 leslant x < 1 rbrace$