Principio de multiplicidad [Introducción a la Combinatoria.]

Principio de multiplicidad

Son muy variadas las situaciones que requieren aplicar otras técnicas de conteo ademas de la estudiada :

Ejemplo :

En un torneo de fútbol participaran 5 equipos .Para realizar los juegos le entregan a cada futbolista 3 camisetas (c), 3 short (s) y 2 pares diferentes de tenis(t). De cuántas maneras diferentes podrá vestirse un futbolistas , utilizando un short, una camiseta y un par de tenis del vestuario entregado?

: Actividad 2

Tres humoristas han sido convocados para participar en una actividad cultural . ¿ De cuántas maneras pueden ser organizada la actuación de cada uno de ellos?

Ver solución [pdf]

Atención :

En cada uno de los ejercicios de conteo, es importante que analices con detenimiento lo que se quiere hallar en cada caso y las condiciones a cumplir , para lo cual puedes realizar un análisis cualitativo de la situación.

: Actividad 3

Escribe todos los números de dos cifras diferentes que puedan formarse con los dígitos 3;4;5 y 6

VER LA SOLUCIÓN [pdf]

: Actividad 4

¿ Cuántos números de cuatro cifras existen que son múltiplos de 5?¿ Cuántos de los múltiplos de 5 son menores que 1000 son diferentes?

VER SOLUCIÓN

:

te propongo acceder a : https://www.youtube.com/watch?v=eYU3XV13Arw

Para ver el video titulado ¿ De cuántas formas puedes abrocharte los cordones de los zapatos?

te resultará muy interesante te lo aseguro

Permutaciones

Imagina que en cuatro sillas debes sentar cuatro niños. ¿ De cuántas modos distintos pueden hacerlo?

Fíjate que en este caso el número de niños es igual al número de sillas , luego se trata de una combinación donde se emplean todos los símbolos

m = n Este tipo de combinación se llama permutaciones

Definición : Permutación

Se llama permutaciones a las posibles formas en que se puede ordenar un conjunto de elementos distintos

Ejemplos de permutaciones:

Formas de llegar a la meta un 10 corredores.

Formas de ordenar un número de cuadros en una pared

Formas de ordenar 6 dígitos para formar un número de seis cifras

entre otras

Saber hacer :

En general para calcular las permutaciones de n elementos se multiplica n por n-1 y asi disminuyendo en uno hasta llegar a 1

es decir, $P n = n (n − 1) (n − 2) ...3.2.1 P_{n}= n(n-1)(n-2)...3.2.1$ A este número se le llama factorial de $n n$ y se indica $n! fact {n}$

o sea $P n = n! = n (n − 1) (n − 2) ......1 P_{n}= fact {n} = n(n-1)(n-2)......1$

Ejemplo : Ejemplos para calcular el factorial

a) $7! = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 3600 fact {7}=7 cdot 6 cdot 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 = 3600$

b) $6! 3! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120 {fact {6} } over {fact {3} }= {6 cdot 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 } over {3 cdot 2 cdot 1 }= 6 cdot 5 cdot 4 = 120$ o también se puede proceder simplificando los factoriales iguales es decir:

$6! 3! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120 {fact {6} } over {fact {3} }= {6 cdot 5 cdot 4 cdot fact {3} } over {fact {3} }= 6 cdot 5 cdot 4 = 120$

: Actividad 5

En un torneo de fútbol participarán 5 equipos. ¿De cuántas maneras diferentes puede ser el orden de salida de los cinco equipos para el desfile inaugural?

Ver solución

: Solución al ejemplo de las sillas

Fíjate que son cuatro sillas y cuatro niños , quiere decir que aplicando la permutación , $4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 fact {4}= 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1= 24$

quiere ,que existen 24 formas diferentes de sentar a los niños en las cuatro sillas

: Actividad 6

¿De cuántas maneras pueden llegar a la meta 10 corredores?

Solución

Meditar :

¿ Qué diferencia existe entre el principio de multiplicidad y las permutaciones?