Técnicas de conteo
Principio de exclusión e inclusión
Con frecuencias es necesario realzar conteos elementales de grupos de objetos, de personas de hechos , de características comunes y no comunes en correspondencia con la sucesión de números naturales , sin embargo no siempre es suficiente esta manera simple de contar.
Ejemplo :
La práctica de diferentes deportes es muy frecuente entre los jóvenes. Un profesor de matemáticas quiere conocer la preferencia de sus alumnos en los tres de los deportes más practicado, para lo cual realiza una encuesta a 40 de sus estudiantes y obtiene que 20 practican fútbol, 16 béisbol, y 18 natación. Además observa que 6 estudiantes practican los tres deportes, 4 practican sólo béisbol y fútbol, 8 únicamente el fútbol y 2 solamente béisbol.
¿Cuántos estudiantes practican sólo béisbol y natación?
¿Cuántos practican sólo fútbol y natación?
¿Cuántos practican sólo natación?
¿Cuántos no practican ninguno de los tres deportes?
Uno de los estudiantes del grupo dibuja tres conjuntos, uno para cada deporte. Pero como hay estudiantes que practican más de un deporte, reelabora el diagrama para que haya intersección entre los conjuntos de dos en dos, pues estos eventos son no exclusivos.
Después anota el número de estudiantes que practican tres deportes en la intersección de los tres conjuntos, es decir, 6.
A continuación, ubica en el diagrama los 4 que practican sólo béisbol y fútbol.
Procede entonces a anotar el número de estudiantes que sólo practican un deporte en la parte en la que el conjunto respectivo no tiene elementos comunes con los otros, es decir, los 8 que únicamente practican fútbol y los 2 que sólo juegan béisbol.
Como el béisbol lo practican un total de 16 estudiantes y hasta el momento lleva contabilizados los 6 que practican los tres deportes, 4 de fútbol y béisbol y 2 de béisbol, le resta a 16 la suma de estos valores, es decir 16 menos 12 y obtiene que 4 estudiantes son los que practican sólo béisbol y natación.
Continúa con los 20 estudiantes que practican el fútbol . Observa que hay 6 de los tres deportes, 4 de fútbol y béisbol, y 8 que sólo practican fútbol.
Resta la suma de 4 más 6 más 8 a los 20 estudiantes que practican el fútbol y obtiene que 2 estudiantes practican sólo fútbol y natación.
Al tener en cuenta que la natación la practican un total de 18 estudiantes, siguiendo el mismo procedimiento, suma 6 de los tres deportes, más 2 de futbol y natación, más 4 de béisbol y natación y le resta esta suma a 18. De esta forma obtiene que son 6 estudiantes los que sólo practican natación.
Finalmente, sumó todos los datos que están en los diagramas de los conjuntos de deportes para responder la última pregunta y obtiene que el total de estudiantes que practican al menos uno de estos deportes es 32, se lo resta a 40, que es el total de estudiantes encuestados y entonces obtiene que 8 estudiantes no practican ningún deporte.
El principio que se ha utilizado se recoge en el teorema Principio de inducción y exclusión
Como ya has visto, a este tipo de experimentos aleatorios en los que puedes identificar más de un evento, se les conoce como eventos compuestos que pueden entenderse con claridad con el uso de los diagramas de conjuntos[1] en los que el espacio muestral de todo el experimento aleatorio se representa por el conjunto universo[2].
: Actvidad 1
En una empresa se ha realizado una encuesta a sus 50 trabajadores .El resultados de la encuesta fue la siguiente:
5 de ellos les gusta su trabajo ; 27 no tienen buenas relaciones con el jefe.; 15 de ellos les gusta su trabajo y tienen buenas relaciones con su jefe y
se quiere saber a cuántos trabajadores:
a) no les gusta su trabajo
b) no tienen buenas relaciones con su jefe
c) les gusta su trabajo, pero no tienen buenas relaciones con su jefe
d) tienen buenas relaciones con su jefe, pero no les gusta su trabajo
e) no tienen buenas relaciones con su jefe y no les gusta su trabajo.
Algo de historia : Antecedentes
Las técnicas de recuento y el estudio de los posibles ordenaciones y agrupaciones de objetos, atrajeron a las primeras civilizaciones de la humanidad sobre todo en China y la India .
Ramón Llull (1233-1315) escritor y filósofo de origen catalán, fue quien desarrollo el pensamiento combinatorio, . En su Ars Magna Combinatoria expone el proyecto de una ciencia universal que explica fenómenos humanos mediante la combinación de algunas ideas simples por medio de símbolos .
Te habrás podido percatar con los ejemplos y ejercicios realizados que no basta con saber contar con números naturales, a veces se requiere de otras formas :
¿ Cuáles son las otras formas de conteo que vas a aprender?