Ideas Esenciales

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables

Para entender este tema resulta fundamental que conozcas cuando estás en presencia de un sistema de dos ecuaciones con dos variables.

Definición

Se denomina sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas o dos variables a una pareja de ecuaciones lineales:

a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 a_1 x+b_1 y+c_1=0 newline a_2 x+b_2 y+c_2=0

donde los coeficientes correspondientes a la misma variable no pueden ser simultáneamente iguales a cero.

Nota: En diferentes textos puedes encontrar los sistemas con una llave que abarca las dos ecuaciones.

Atención

Ejemplos de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables:

  • 2 x + y − 25 = 0 2 5 x + 1 5 y − 120 = 0 {2 x + y - 25=0}newline {{2} over {5}x + {1} over {5}y - 120=0 }

  • x + y = 60 2 x = − 6 {x + y = 60} newline {{2} x = -6 }

  • x + y = 360 2 5 x + 1 5 y = 120 binom{x + y = 360}{{2} over {5}x + {1} over {5}y = 120 }

No son ejemplos de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables:

  • 2 x + 25 = 0 2 5 x + 4 = 0 {2 x + 25=0}newline {{2} over {5}x +4=0 }

  • 0,5 y = 3 8 y − 5 = 0 {0,5 y =3}newline {{8} y -5=0 }

Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables

Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables pueden tener solución (ser solubles) o no tener solución (insolubles). Entre los sistemas de dos ecuaciones lineales solubles pueden encontrarse los que tienen una única solución y los que tienen infinitas soluciones.

Definición

El par ordenado ( x 0, y 0 ) (x_0,y_0 ) es solución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables si satisface simultáneamente las dos ecuaciones. Al conjunto de todas las soluciones de un sistema se le llama conjunto solución del sistema de dos ecuaciones con dos variables.

Al resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables aprendiste a hacerlo utilizando diferentes métodos analíticos entre los que se encuentran el método de adición - sustracción[1], también conocido como método de reducción, el de sustitución[2] y el de igualación[3], que es un caso particular del anterior.

Problemas que conducen al planteo de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables

En cada problema encontrarás informaciones donde se relacionan palabras claves como: excede, cede, duplo, mitad, mayor que, menor que, aumentó en, aumentó a, etc, es necesaria una correcta traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico, lo que permite el planteamiento adecuado de las ecuaciones que formarán el sistema a resolver.

Te propongo recordar el procedimiento que debes utilizar para solucionar problemas que conduzcan a sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables.

Procedimiento para resolver problemas que conducen al planteamiento de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables

  1. Leer detenidamente el texto para identificar cuáles son las dos incógnitas con las que vas a trabajar.

    Generalmente en el texto de los problemas aparecen informaciones que nos ubican en un contexto determinado o aparecen palabras que no tienen un significado directo a la hora de plantear las ecuaciones. Es por ello, que debes leer cuidadosamente el texto para encontrar dentro de toda la información brindada en el texto cuáles son los elementos desconocidos.

  2. Declarar las variables según las incógnitas que identificaste.

    Al identificar los elementos desconocidos, asignas una variable a cada uno. En ocasiones es conveniente trabajar con las letras iniciales de las palabras que representan las incógnitas. Además, es necesario escribir correctamente lo desconocido, por ejemplo: la edad de Juan y no escribir solo Juan, la cantidad de hectáreas sembradas de tomate y no escribir solo tomate, la matrícula de 11no grado y no escribir solo 11no grado.

  3. Traducir al lenguaje algebraico las relaciones que brinda el problema sobre las dos incógnitas para escribir las dos ecuaciones que forman el sistema.

    Dentro del texto aparecen por lo general dos informaciones donde se relacionan los elementos asumidos como incógnitas en el problema. Analiza con cuidado cada una de ellas y escribe la ecuación correspondiente traduciendo esa información al lenguaje algebraico.

  4. Resolver el sistema utilizando uno de los métodos analíticos estudiados.

    Al efectuar este paso ten en cuenta si:

    - es necesario ordenar el sistema,

    - las ecuaciones tienen denominadores y te es más conveniente eliminarlos,

    - alguna de las variables tiene coeficiente 1 o - 1.

    Luego, analiza cuál de los dos métodos estudiados es más racional para resolverlo.

  5. Comprobar en el texto del problema si los valores hallados satisfacen las condiciones planteadas.

    La comprobación de las soluciones obtenidas se realiza siempre en el texto del problema, no en el sistema planteado, ya que este último puede tener errores en su planteamiento o resolución. Para ello compruebas, con los valores hallados, si se cumplen las dos relaciones que utilizaste para plantear las ecuaciones del sistema.

  6. Leer nuevamente la pregunta del problema para ver si los valores hallados representan la respuesta.

    En varias ocasiones encontrarás que los valores hallados no dan respuesta todavía a la pregunta del problema. Es por ello que que debes leer nuevamente la pregunta y realizar, si es necesario, otros cálculos que te permitan hallar definitivamente lo pedido.

  7. Escribir la respuesta literal a la pregunta formulada en el texto.

    Cada pregunta debe ser respondida literalmente, escribiendo en cada caso las unidades de medidas, los símbolos correspondientes, etc.

Observación

Es importante también que conozcas que todos los problemas que conducen al planeamiento de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables, se pueden resolver mediante el planteamiento de una ecuación lineal. Para ello utilizas una de las informaciones del texto para escribir las dos incógnitas en función de una sola variable y la otra información, para escribir la ecuación lineal a resolver.

Es bueno que cada uno de los problemas aquí analizados los resuelvas también mediante el planteo de una ecuación lineal, pues te ayudará a dominar ambos procedimientos y a tener más herramientas a tu alcance para resolver problemas de este tipo.