SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES. PROBLEMAS

En un concurso de conocimientos y habilidades participaron dos equipos A y B integrados por estudiantes de dos institutos preuniversitarios. La puntuación obtenida por el equipo A excede en 100 al duplo de los puntos obtenidos por el equipo B. Si consideramos el 40% del total de los puntos alcanzados por los dos equipos, entonces la diferencia de esta cantidad con la puntuación obtenida por el equipo B es igual a 50. ¿Cuántos puntos más obtuvo el equipo ganador con respecto al perdedor?

Solución:

• El problema trata sobre la cantidad de puntos obtenidos por los equipos A y B en un concurso, lo que representa las incógnitas. Luego, la declaración de las variables quedaría de la manera siguiente:

  Cantidad de puntos obtenidos por el equipo A: A

  Cantidad de puntos obtenidos por el equipo B: B

• La información que te permite escribir la primera ecuación es: La puntuación obtenida por el equipo A excede en 100 al duplo de los puntos obtenidos por el equipo B.

  Esto significa que la cantidad de puntos obtenidos por el equipo A es mayor que la otra cantidad, 2B. Como la ecuación es una igualdad entre los dos miembros, para poder igualarlos debes sustraer 100 en el miembro izquierdo o adicionar 100 en el miembro derecho. También puedes plantear la diferencia de ambas cantidades igualada a 100.

  Al traducir al lenguaje algebraico lo planteado puedes escribir una de las siguientes ecuaciones: $A–100=2B$; $A=2B+100$ o $A–2B=100$.

• La información que te permite escribir la segunda ecuación es: Si consideramos el 40% del total de los puntos alcanzados por los dos equipos, entonces la diferencia de esta cantidad con la puntuación obtenida por el equipo B es igual a 50.

  El total de puntos alcanzados entre ambos equipos sería ($A+B$) y la palabra diferencia significa sustracción, por lo que al traducir al lenguaje algebraico esta información se obtiene la ecuación $\frac{2}{5}\left(A+B\right)-B=50$, xpresando el 40% como fracción.

• Planteas el sistema que da solución al problema:

  $\begin{array}{}A–100=2B\\ \frac{2}{5}\left(A+B\right)-B=50\end{array}$

• Resuelves el sistema por cualquiera de los dos métodos estudiados por ti, lo que te mostramos a continuación.

  Método de sustitución^[1]

  Método de adición - sustracción^[2]

• Escribes la respuesta del problema

  Ya conoces que el equipo A logró 200 puntos y el equipo B logró 50 puntos, sin embargo esto no responde todavía la pregunta del problema.

  ¿Cuántos puntos más obtuvo el equipo ganador con respecto al perdedor?

  Para dar respuesta a esta interrogante, debes realizar la sustracción $200–50=150$.

  R/ El equipo ganador obtuvo 150 puntos más que el equipo perdedor.

En la finalizada Feria Internacional del Libro, en el quiosco dedicado a la venta de libros infantiles, se utilizaron dos estantes A y B para la muestra de estos. En un inicio había en el estante A el doble de la cantidad de libros que en el B. Por problemas de seguridad se trasladaron después 8 libros del estante A para el B, lo que trajo como consecuencia que en éste último estuviera ubicada una cantidad de libros igual al 80% de los que quedaron finalmente en el estante A.

a) ¿Cuántos libros había al principio en cada estante?

b) ¿Qué tanto por ciento del total de libros exhibidos en un inicio en el estante A representan los que deben trasladarse al estante B, para que ambos estantes tengan la misma cantidad de libros?

Solución del inciso a:

• El problema trata sobre la cantidad de libros que hay en dos momentos diferentes en los estantes A y B de un quiosco.

  La declaración de las variables quedaría de la forma siguiente:

  Cantidad de libros que había inicialmente en el estante A: A

  Cantidad de libros que había inicialmente en el estante B: B

  Analiza la importancia de la palabra inicialmente en los datos, ya que en el texto hay dos momentos en relación a la cantidad de libros que tienen los estantes.

• La información que te permite escribir la primera ecuación es: En un inicio había en el estante A el doble de la cantidad de libros que en el B.

  Como el estante A tenía más libros que el estante B, el factor 2 se le coloca a la variable B para poder igualar ambos miembros de la ecuación.

  Al traducir al lenguaje algebraico esta información se obtiene la ecuación: $A=2B$.

• La información que te permite escribir la segunda ecuación es: Por problemas de seguridad se trasladaron después 8 libros del estante A para el B, lo que trajo como consecuencia que en éste último estuviera ubicada una cantidad de libros igual al 80% de los que quedaron finalmente en el estante A.

  Según el texto se trasladan 8 libros del estante A al estante B, por lo que debes sustraer 8 al estante A y adicionar 8 al estante B. En el estante A quedaron $A–8$ libros y en el B, $B+8$libros. Para escribir la ecuación utilizas la última parte de la información, o sea, la que relaciona la cantidad de libros que hay ahora en cada estante.

  Al traducir al lenguaje algebraico esta segunda parte de la información se obtiene la ecuación $B+8=\frac{4}{5}\left(A–8\right)$ , después de expresar el 80% como fracción.

• Planteas el sistema que da solución al problema:

  $\begin{array}{}A=2B\\ B+8=\frac{4}{5}\left(A–8\right)\end{array}$

• Resuelves el sistema por cualquiera de los dos métodos estudiados por ti.

  A continuación te mostramos la solución por ambas vías, pero ten en cuenta que cuando una de las dos ecuaciones del sistema tiene una de las variables despejadas, el método más racional es el de sustitución.

  Método de sustitución^[3]

  Método de adición - sustracción^[4]

• Escribes la respuesta. Ya tienes los valores de A y B, que según la declaración de la variable representan la cantidad de libros que había inicialmente en cada estante; y esto es precisamente lo que se pide en la pregunta del inciso a.

  R/ Al principio había 48 libros en el estante A y 24 libros en el estante B.

Solución del inciso b:

• Analizas de nuevo lo que te solicitan

  ¿Qué tanto por ciento del total de libros exhibidos en un inicio en el estante A representan los que deben trasladarse al estante B, para que ambos estantes tengan la misma cantidad de libros?

  Para calcular el tanto por ciento pedido, debes identificar cuál es la parte y cuál el todo.

  Todo: representa el total de libros exhibidos en un inicio en el estante A, o sea, 48.

  Parte: representa los libros que deben trasladarse al estante B, para que ambos estantes tengan la misma cantidad de libros, o sea, 12.

  Para hallar la parte, puedes operar de varias formas:

  1ra vía: Planteas la ecuación $48–x=24+x$, de donde $x=12$. Aquí $x$ representa la cantidad de libros que hay que trasladar para que ambos estantes tengan igual cantidad de libros.

  2da vía: La diferencia entre 48 y 24 es 24. Divides 24 a la mitad y obtienes 12.

  $\frac{P}{T}=\frac{x}{100}$

  $\frac{12}{48}=\frac{x}{100}$

  $x=\frac{12\cdot 100}{48}$

  x=25%.

  R/ Debe trasladarse el 25% de los libros del estante A hacia el estante B para que ambos tengan la misma cantidad.

Entre dos brigadas de trabajo tienen que recolectar en un día un total de 360 cajas de tomates. A las 10:00 a.m., la primera brigada había recogido el 40% de la cantidad de cajas de tomates que debía recoger para cumplir su norma y la segunda brigada el 20% de las que le correspondía recolectar, por lo que faltaban por recoger entre ambas las dos terceras partes del total de cajas que debían recolectar en el día.

a) Si cada brigada cumplió su norma del día, ¿cuántas cajas de tomates recolectó cada brigada?

b) Si cada caja contiene como promedio un total de 60 libras de tomate, ¿es posible cumplir con un pedido de 2 540 kg de tomates para una fábrica de conservas, solamente con la cantidad recolectada por la segunda brigada?

Nota: $1\mathrm{kg}\approx \mathrm{2,2}\mathrm{lb}$

Solución del inciso a:

• El problema trata sobre la cantidad de cajas de tomate que deben recolectar dos brigadas .

  La declaración de variables quedaría de la forma siguiente:

  Cantidad de cajas de tomate a recolectar por la brigada 1: x

  Cantidad de cajas de tomate a recolectar por la brigada 2: y

• La información que te permite escribir la primera ecuación es: Entre dos brigadas de trabajo tienen que recolectar en un día un total de 360 cajas de tomates.

  Al traducir al lenguaje algebraico esta información se obtiene la ecuación: $x+y=360$.

• La información que te permite escribir la segunda ecuación es: A las 10:00 a.m., la primera brigada había recogido el 40% y la segunda brigada el 20% de las que le correspondía recolectar, por lo que faltaban por recoger entre ambas las dos terceras partes del total de cajas que debían recolectar en el día.

  A las 10:00 a.m., la brigada 1 había recogido 40% x lo que equivale a plantear $\frac{2}{5}x$ y la brigada 2, 20% y que es lo mismo que plantear $\frac{1}{5}y$.

  Como les faltaba por recoger a esa hora las dos terceras partes de lo que debían recoger en conjunto (360 cajas), entonces ya habían recogido la tercera parte de esa cantidad, o sea, $\frac{1}{3}\cdot 360=120$.

  Ten en cuenta que primero te hablan de lo que han recogido, y luego de lo que falta por recoger. Es por ello que debes prestar atención al escribir la ecuación, ya que puedes cometer algún error por mala interpretación de la información.

  Puedes escribir la segunda ecuación de dos formas:

  1. Ecuación si utilizas lo recogido: $\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}y=120$.

  2. Ecuación si utilizas lo que falta por recoger:$\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y=240$. Esto es porque si la brigada 1 recogió el 40%, le falta por recoger el 60% y si la brigada 2 recogió el 20%, le falta por recoger el 80%.

• Planteas el sistema (puede quedar planteado de dos formas):

  $\begin{array}{}x+y=360\\ \frac{2}{5}x+\frac{1}{5}y=120\end{array}$ o $\begin{array}{}x+y=360\\ \frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y=240\end{array}$.

• Resuelves el sistema . Vamos a resolver el primero cuyos coeficientes son más cómodos para trabajar. Como siempre te mostramos la solución por ambos métodos.

  Método de adición - sustracción^[5]

  Método de sustitución^[6]

• Escribes la respuesta. Como la pregunta coincide con los valores hallados, puedes escribir la respuesta.

  R/ La primera brigada recolectó 240 cajas de tomate y la brigada 2, 120 cajas.

Solución del inciso b):

• Lees nuevamente lo que te ofrecen y lo solicitado en este inciso: Si cada caja contiene como promedio un total de 60 libras de tomate, ¿es posible cumplir con un pedido de 2 540 kg de tomates para una fábrica de conservas, solamente con la cantidad recolectada por la segunda brigada?

• Para comparar las dos cantidades deben estar en la misma unidad de medidas, luego lo conviertes todo a kilogramo o todo a libra.

  Como cada caja contiene como promedio 60 libras, hallas cuántas libras recogió la segunda brigada: 120 cajas ·60 lb=7 200 lb.

  El pedido de 2 540 kg de tomates se convierte a libras también:

  2 540kg ·2,2 lb≈5 588 lb.

  Como $7200>5588$, es posible cumplir con el pedido.

  R/ Sí, es posible cumplir con el pedido de 2 540 kg de tomates de la fábrica de conservas con la cantidad recolectada por la brigada dos.

Si Cuba comprara una tonelada de un producto A y una tonelada de otro producto B en el mercado de los Estados Unidos, tendría que pagar un precio de 2100 dólares en total por las dos toneladas. Desafortunadamente, la compra debe efectuarse en otros mercados en los que el precio de una tonelada del producto A se triplica, mientras que por una tonelada del producto B habría que pagar 1 600 dólares más. Si el nuevo precio del producto A excede en 1 100 dólares al nuevo precio del B:

a) ¿Cuánto habría que pagar por una tonelada de cada producto si se comprara en el mercado de los Estados Unidos?

b) ¿En qué tanto por ciento se incrementaría el precio de una tonelada del producto B al comprarla en otro mercado?

Solución del inciso a:

• El problema trata sobre cómo varía el precio de una tonelada de dos productos A y B que se compran en diferentes lugares.

  Además, aparece el precio en los Estados Unidos y en otros mercados, sin embargo la declaración de variable debe estar relacionada con el precio en los Estados Unidos, ya que el precio del otro mercado aparece en función de lo que cuesta cada producto en los Estados Unidos.

  La declaración de variables quedaría de la forma siguiente:

  Precio de una tonelada del producto A en los Estados Unidos: A

  Precio de una tonelada del producto B en los Estados Unidos: B

• La información que te permite escribir la primera ecuación es: Si Cuba comprara una tonelada de un producto A y una tonelada de otro producto B en el mercado de los Estados Unidos, tendría que pagar un precio de 2100 dólares en total por las dos toneladas.

  Al traducir al lenguaje algebraico esta información se obtiene la ecuación: $A+B=2100$.

• Para escribir la segunda ecuación, primero debes poner en función de A y B el precio de la tonelada de ambos productos en el otro mercado:

  Precio de una tonelada del producto A en el otro mercado: $3A$ (se triplica)

  Precio de una tonelada del producto B en el otro mercado: $B+1600$ (1 600 dólares más)

  La información que te permite escribir la segunda ecuación es: Si el nuevo precio del producto A excede en 1 100 dólares al nuevo precio del B.

  Al traducir al lenguaje algebraico la información se obtiene la ecuación: $3A–1100=B+1600$.

  Nota: En este tipo de problemas donde la incógnita se comporta de maneras diferentes en dos momentos puede escribirse la declaración de variables en una tabla como la siguiente:

  

• Planteas el sistema que da solución al problema :

  $\begin{array}{}A+B=2100\\ 3A–1100=B+1600\end{array}$

• Resuelves el sistema por cualquiera de los dos métodos estudiados por ti, te mostramos a continuación la solución por ambas vías.

  Método de sustitución^[7]

  Método de adición - sustracción^[8]

  Como habrás notado este sistema es más racional resolverlo por el segundo método, ya que la variable B queda con coeficientes opuestos.

• Escribes la respuesta. Con los resultados hallados puedes dar respuesta al inciso, ya que según la declaración de variable, A y B representan el precio de la tonelada de cada producto en los Estados Unidos.

  R/ Si se comprara en el mercado de los Estados Unidos habría que pagar por la tonelada del producto A, 1 200 dólares y por la del producto B, 900 dólares.

Solución del inciso b):

• Según el texto, el precio de una tonelada del producto B en el otro mercado aumenta en 1 600, lo que sería la parte.

  El todo, sería el precio en los Estados Unidos de la tonelada del producto B, o sea, 900 dólares.

  Aplicando la fórmula del tanto por ciento, obtiene:

  $\frac{P}{T}=\frac{x}{100}$

  $\frac{1600}{900}=\frac{x}{100}$

  $x=\frac{1600\cdot 100}{900}$

  $x\approx$178%

  R/ El precio de la tonelada del producto B en el otro mercado se incrementa en un 178% aproximadamente.

• Otra vía de solución para este inciso puede ser:

  Parte: El precio de la tonelada del producto B en otro mercado: $900+1600=2500$

  dólares.

  Todo: Precio de la tonelada del producto B en los Estados Unidos: 900 dólares.

  $\frac{2500}{900}=\frac{x}{100}$

  $x\approx$278%

  Pero tomaste como parte el precio de la tonelada del producto B en el otro mercado y no su incremento, por lo que este resultado representa qué porcentaje es el precio de la tonelada del producto B en el otro mercado con respecto al mercado de Estados Unidos.

  Para hallar el porcentaje pedido, debes sustraer 278%-100%=178%.

Dos líneas de producción de tejas de fibrocemento de la empresa “Ernesto Guevara” , desarrollaron una emulación fraternal por el Día del Constructor. En el primer conteo, la primera línea había terminado el 40% de lo que produjo durante toda la competencia y la segunda el 30% de lo que reportó al cierre de esta. Se conoce que hasta ese momento la producción conjunta de las dos líneas era de 400 tejas. En el conteo final de la producción realizada, lo producido por la segunda línea era igual a las dos terceras partes de la producción conjunta de ambas líneas, por lo que ganó la emulación.

¿Cuántas tejas produjo cada línea de producción durante la competencia?

Solución:

• Como puedes apreciar el problema trata sobre la producción de tejas de fibrocemento en dos líneas de producción de una empresa.

  En este caso, lo desconocido es la cantidad de tejas producidas por cada línea . Luego, en este problema, la declaración de variables está en correspondencia con la pregunta del problema.

  Cantidad de tejas que produjo la línea 1: x

  Cantidad de tejas que produjo la línea 2: y

• La primera información a analizar es: la primera línea había terminado el 40% de lo que produjo durante toda la competencia y la segunda el 30% de lo que reportó al cierre de esta. Se conoce que hasta ese momento la producción conjunta de las dos líneas era de 400 tejas.

  Esta información conduce al planteo de la primera ecuación, Como ya conoces debes escribir cada tanto por ciento como fracción, por lo que a ecuación queda de esta manera:

  $\frac{2}{5}x+\frac{3}{10}y=400$

• La segunda información a analizar es: lo producido por la segunda línea era igual a las dos terceras partes de la producción conjunta de ambas líneas, por lo que ganó la emulación.

  Esta información conduce al planteo de la segunda ecuación: $y=\frac{2}{3}\left(x+y\right)$.

• Planteas el sistema que da solución a este problema :

  $\begin{array}{}\frac{2}{5}x+\frac{3}{10}y=400\\ y=\frac{2}{3}\left(x+y\right)\end{array}$

• Resuelves el sistema planteado utilizando uno de los métodos estudiados por ti.

  Método de adición - sustracción^[9]

• Como las variables representan la cantidad de tejas producidas por cada línea, escribes la respuesta a la pregunta del problema.

  R/ Durante la competencia la primera línea de producción produjo 400 tejas y la segunda, 800-

Xiomara y Ana Lidia, durante dos días de recolección de café en las montañas pinareñas, lograron llenar 104 latas del preciado grano entre las dos. Si Xiomara le cediera a Ana Lidia el 20% de la cantidad de latas que logró llenar, ambas tendrían la misma cantidad de latas llenas de café.

a) ¿Cuántas latas de café llenó cada una?

b) Si entre ambas lograron recolectar el equivalente a 3 640 libras de café y en todas las latas había la misma cantidad de café, determina en cuántas libras, la cantidad recolectada por Xiomara, excede a la cantidad recolectada por Ana.

Solución del inciso a):

• El problema trata sobre la cantidad de latas de café recogidas por dos personas .

  La declaración de variables quedaría de la forma siguiente:

  Cantidad de latas de café llenadas por Xiomara: x

  Cantidad de latas de café llenadas por Ana: y

• La información que te permite escribir la primera ecuación es: Xiomara y Ana Lidia lograron llenar 104 latas del preciado grano entre las dos.

  Al traducir al lenguaje algebraico esta información obtienes la primera ecuación: $x+y=104$ .

• La segunda información a analizar es: Si Xiomara le cediera a Ana Lidia el 20% de la cantidad de latas que logró llenar, ambas tendrían la misma cantidad de latas llenas de café.

  Como Xiomara llenó $x$ latas de café y cede el 20% de ellas a Ana, entonces debes sustraer 20% x a la cantidad de latas llenadas por Xiomara y adicionar 20% x a la cantidad de latas llenadas por Ana. Luego, Xiomara quedaría con (x -20% x ) latas y Ana quedaría con (y +20% x ) latas.

  Si después de esta operación, ambas quedan con igual cantidad de latas, entonces al expresar el 20% como fracción, conduce al planteo de la segunda ecuación: $x-\frac{1}{5}x=y+\frac{1}{5}x$.

  Otra forma de plantear esta relación sería: Como Xiomara cede el 20% de la cantidad de latas que llenó a Ana, se quedó con el 80% y puedes plantear el miembro izquierdo de la segunda ecuación más simple de esta manera $\frac{4}{5}x=y+\frac{1}{5}x$.

• Planteas el sistema que da solución al problema planteado será:

  $\begin{array}{}x+y=104\\ \frac{4}{5}x=y+\frac{1}{5}x\end{array}$

• Resuelves el sistema por cualquiera de los métodos estudiados. Aquí te lo mostramos por el método de adición - sustracción.

  Método de adición - sustracción^[10]

• Escribes la respuesta. Como las variables representan la cantidad de latas llenadas por cada una, ya tienes la respuesta a la pregunta del inciso a.

  R/ Xiomara llenó 65 latas de café y Ana, 39 latas.

Solución del inciso b):

• Analizas de nuevo lo que informan y lo que piden:

  Si entre ambas lograron recolectar el equivalente a 3 640 libras de café y en todas las latas había la misma cantidad de café, determina en cuántas libras, la cantidad recolectada por Xiomara, excede a la cantidad recolectada por Ana.

  Como entre ambas recolectaron 3 640 libras de café y había igual cantidad en cada lata, puedes hallar cuántas libras aproximadamente tiene una lata:

  $3640\mathrm{libras}:104\mathrm{latas}\approx 35\mathrm{libras}$3640 libras: 104 latas≈35 libras.

  Ahora puedes buscar cuántas libras recolectó cada una.

  Xiomara: 65 latas · 35 libras=2 275 libras.

  Ana: 39 latas · 35 libras=1 365 libras.

  La diferencia será: 2 275 libras -1 365 libra=910 libras

  Otra vía puede ser sustraer del total de libras (3 640) las recolectadas por Xiomara (2 275) y obtienes las libras recolectadas por Ana (1 365).

  R/ La cantidad de libras recolectadas por Xiomara excede en 910 libras a las recolectadas por Ana.

El organopónico que atiende un preuniversitario tiene 20 canteros, entre los cultivados y los recién creados. Para fertilizarlos se utilizaron 528 kg de fertilizante, y se conoce que los canteros cultivados requieren de 32 kg de fertilizante, mientras los recién creados solo necesitan 18 kg.

a) ¿Cuántas canteros de cada tipo hay en el organopónico?

b) ¿Qué tanto por ciento del fertilizante utilizado se necesitó para los canteros recién creados?

Solución del inciso a:

• El problema trata sobre la cantidad de canteros que hay en un organopónico entre cultivados y recién creados. Por ello la declaración de variables queda de esta manera:

  Cantidad de canteros cultivados: x

  Cantidad de canteros recién creados: y

• La información que te permite escribir la primera ecuación es: El organopónico que atiende un preuniversitario tiene 20 canteros, entre los cultivados y los recién creados.

  Al traducir al lenguaje algebraico esta información se obtiene la ecuación: $x+y=20$.

• La información que te permite escribir la segunda ecuación es: Para fertilizarlos se utilizaron 528 kg de fertilizante, y se conoce que los canteros cultivados requieren de 32 kg de fertilizante , mientras los recién creados solo necesitan 18 kg .

  Según el texto se utilizaron en total 528 kg de fertilizantes, por lo que la segunda ecuación debe quedar igualada a esta cantidad. Para ello debes colocar a cada variable delante el coeficiente que representa la cantidad de kilogramos de fertilizante que necesita cada cantero.

  Al traducir al lenguaje algebraico esta información se obtiene la ecuación: $32x+18y=528$.

• Planteas el sistema que da solución al problema:

  $\begin{array}{}x+y=20\\ 32x+18y=528\end{array}$

• Resuelves el sistema por cualquiera de los métodos estudiados. Aquí te lo mostramos por el método de sustitución^[11].

• Escribes la respuesta. Como las variables utilizadas representan la cantidad de canteros de cada tipo, ya tienes la respuesta a la pregunta al primer inciso.

  R/ En el organopónico hay 12 canteros cultivados y 8 recién creados.

  Solución del inciso b):

  Te preguntan : ¿Qué tanto por ciento del fertilizante utilizado se necesitó para los canteros recién creados?

  Analiza que el tanto por ciento pedido está relacionado con la cantidad de fertilizante y no con la cantidad de canteros.

  Todo: Total de fertilizante utilizado: 528 kg.

  Parte: La cantidad de fertilizante utilizado en los canteros recién creados: 8 . 18kg = 144 kg.

  $\frac{P}{T}=\frac{x}{100}$

  $\frac{144}{528}=\frac{x}{100}$

  x≈27%

  R/ Se necesitó para los canteros recién creados el 27% aproximadamente de la cantidad de fertilizante utilizado.

En una fábricas se debían producir bloques y ladrillos para la construcción y reparación de escuelas en la capital. En enero, entre bloques y ladrillos lograron producir 12 000 piezas. En febrero, por diferentes causas técnicas la producción de bloques se redujo a un 80% de lo logrado en enero, mientras la fabricación de ladrillos disminuyó en un 25%, por lo que en febrero fabricaron 2 600 piezas menos que en enero.

a) ¿Cuántos bloques y ladrillos se produjeron en enero?

b) Si en una escuela para su reparación y ampliación se necesitan 15 000 bloques, ¿bastará con la producción de estos dos meses para satisfacer esta demanda? Argumenta mediante cálculos.

Solución del inciso a:

• Como puedes apreciar el problema trata sobre la producción de bloques y ladrillos en dos meses y la relación entre lo que se produjo en enero y febrero.

  En este caso, lo desconocido es la cantidad de bloques y ladrillos producidos por mes . Como lo producido en febrero está relacionado con lo producido en enero, puedes realizar la declaración de variables con relación a la producción de enero, lo que está en correspondencia directa con la pregunta del problema.

  Cantidad de bloques producidos en enero: x

  Cantidad de ladrillos producidos en enero: y

• La primera información a analizar es: En enero, entre bloques y ladrillos lograron producir 12 000 piezas.

  Esta información conduce al planteo de la primera ecuación:$x+y=12000$.

• La segunda información a analizar es: En febrero, por diferentes causas técnicas la producción de bloques se redujo a un 80% de lo logrado en enero, mientras la fabricación de ladrillos disminuyó en un 25%, por lo que en febrero fabricaron 2 600 piezas menos que en enero.

  Nota: Debes tener en cuenta en este problema el significado de redujo a un y disminuyó en.

  • Si la producción de bloques en febrero se redujo a un 80%, significa que se produjo en febrero precisamente ese tanto por ciento de los bloques producidos en enero, o sea. 80% x que expresado como fracción queda $\frac{4}{5}x$ .

  • Como la producción de ladrillos en febrero disminuyó en un 25%, significa que se produjo un 25% menos que el mes anterior, lo que equivale al 75% de los ladrillos que se produjeron en enero, o sea, 75% y que expresado como fracción queda $\frac{3}{4}y$ .

  • Como en febrero se produjeron 2 600 piezas menos, calculas $12000–2600=9400$ y planteas la segunda ecuación: $\frac{4}{5}x+\frac{3}{4}y=9400$.

• Escribes el sistema que da solución al problema, observa que una ecuación está relacionada con la producción en enero y la otra, con lo producido en febrero.

  $\begin{array}{}x+y=12000\\ \frac{4}{5}x+\frac{3}{4}y=9400\end{array}$

• Resuelves el sistema por cualquiera de los métodos estudiados.

  Método de adición - sustracción^[12]

  Método de sustitución.^[13]

• Escribes la respuesta. Como lo hallado representa la cantidad de bloques y ladrillos producidos en enero, ya puedes escribir la respuesta del primer inciso.

  R/ Se han producido en enero 8 000 bloques y 4 000 ladrillos.

Solución del inciso b :

• Volvamos a leer lo que este inciso plantea y lo que te solicita:

  Si en una escuela para su reparación y ampliación se necesitan 15 000 bloques, ¿bastará con la producción de estos dos meses para satisfacer esta demanda? .

  Observa que la demanda para la reparación es solo de bloques, por tanto:

  1. Determinas la cantidad de bloques producidas entre estos dos meses:

     Producción de bloques en enero: 8 000

     Producción de bloques en febrero: $\frac{4}{5}\cdot 8000=6400$

     Producción de bloques entre los dos meses 14 400

  2. Comparas la producción de bloques de estos dos meses con la demanda:

  R/ No es posible satisfacer la demanda con la cantidad de bloques producida en estos dos meses.

Hoy fui al agromercado y compré mangos y plátanos frutas. El precio de un plátano y el de un mango estaban en la razón $1:5$. Si compré 10 plátanos y 4 mangos y gasté $30,

a) ¿Cuál es el precio de cada producto?

b) Si el dinero gastado representa el 5% de mi salario mensual, ¿cuál es mi salario anual, si mi sueldo es fijo?

Solución del inciso a:

• Como puedes apreciar el problema trata sobre el precio de los mangos y plátanos comprados y se establece la relación entre el precio de cada producto y el dinero invertido en la compra.

  En este caso, lo desconocido es el precio de cada producto . La declaración de variables quedaría de esta manera:

  Precio de un mango: M

  Precio de un plátano: P

• La primera información a analizar es: El precio de un plátano y el de un mango estaban en la razón 1:5.

  Esta información conduce al planteo de la primera ecuación:$\frac{P}{M}=\frac{1}{5}$

• La segunda información a analizar es: compré 10 plátanos y 4 mangos y gasté $30.

  Esta información conduce al planteo de la segunda ecuación: $4M+10P=30$.

  Ten en cuenta que M y P representan el precio de cada producto y vas a igualar la ecuación a dinero, luego debes colocar en el miembro izquierdo de la ecuación delante la cantidad comprada de cada producto.

• Planteas el sistema que modela el problema:

  $\begin{array}{}\frac{P}{M}=\frac{1}{5}\\ 4M+10P=30\end{array}$

• Resuelves el sistema por cualquiera de los métodos estudiados. Para ello, debes organizar la primera ecuación y decidir cuál de los dos métodos es más racional.

  Observa cómo queda utilizando el Método de sustitución^[14].

• Escribes la respuesta. Como has obtenido el precio de cada producto, que coincide con la pregunta del problema, ya puedes escribir la respuesta del inciso a.

  R/ Un mango cuesta $5.00 y un plátano fruta, $1.00.

Solución del inciso b:

• Volvamos a leer la información ofrecida y lo que piden : Si lo el dinero gastado representa el 5% de mi salario mensual, ¿cuál es mi salario anual, si mi sueldo es fijo?

  El texto plantea que el dinero gastados , o sea, 30 pesos representa el 5% de su salario mensual, luego puedes hallar primero este salario a partir de: $\frac{P}{T}=\frac{x}{100}$.

  Conoces la parte (30) y el tanto por ciento (5) , debes hallar el todo que corresponde al salario mensual (SM):

  $\frac{30}{\mathrm{SM}}=\frac{5}{100}$

  $\mathrm{SM}=\frac{30.100}{5}$

  $\mathrm{SM}=600$.

  Para hallar el salario anual de la persona, debes multiplicar por 12 el salario mensual:

  $600\cdot 12=7200$.

  R/ Su salario anual es de $7 200.00.

El promedio de las notas obtenidas por Ana en las pruebas de ingreso de Matemática y Español fue de 89 puntos. Si hubiese obtenido 20 puntos más en Español, esa nota excedería a la nota que obtuvo en Matemática en 2 puntos.

a) ¿Qué nota obtuvo Ana en esas dos asignaturas?

b) ¿Qué nota debe obtener en Historia si quiere elevar su promedio a 92 puntos?

Solución del inciso a:

• El problema trata sobre las notas en Matemática y Español obtenidas por Ana , lo que representa las incógnitas del problema. Luego, la declaración de variables quedaría de la manera siguiente:

  Nota obtenida por Ana en Matemática: M

  Nota obtenida por Ana en Español: E

• La primera información a analizar es: El promedio de las notas obtenidas por Ana en las pruebas de ingreso de Matemática y Español fue de 89 puntos. Teniendo en cuenta el significado de la palabra promedio, esta información conduce al planteo de la primera ecuación:$\frac{M+E}{2}=89$.

• La segunda información a analizar es: Si hubiese obtenido 20 puntos más en Español , esa nota excedería a la nota que obtuvo en Matemática en 2 puntos .

  Esta información conduce al planteo de la segunda ecuación: $E+20–2=M$.

  Esta ecuación también puede escribirse de estas dos formas: $E+20=M+2$ o también $E+20-M=2$.

• Planteas el sistema que modela el problema planteado es:

  $\begin{array}{}\frac{M+E}{2}=89\\ E+20-2=M\end{array}$

• Resuelves el sistema. Ahora debes organizar las ecuaciones y determinar el método más racional a utilizar.

  En este caso al organizar el sistema, es más conveniente el método de adición - sustracción, el que te mostramos a continuación:

  Método de adición - sustracción^[15].

• Escribes la respuesta. Como los valores hallados representan las notas de Ana en Matemática y Español, puedes escribir la respuesta.

  R/ Ana obtuvo 98 puntos en Matemática y 80 puntos en Español.

Solución del inciso b):

• Al leer de nuevo lo solicitado ¿Qué nota debe obtener en Historia si quiere elevar su promedio a 92 puntos?, debes buscar la nota de Historia, para subir su promedio a 92 puntos. Como ya conoces las otras dos notas, debes plantear y resolver la ecuación:

  $\frac{98+80+H}{3}=92$(Multiplicas por 3 ambos miembros)

  $178+H=276$

  $H=276–178$

  $H=98$.

  R/ Para elevar su promedio a 92 puntos, Ana debe obtener en Historia 98 puntos.

Un terreno rectangular tiene un perímetro de 520 metros. Para obtener una mayor producción, se aumentó su ancho en 50 metros y se disminuyó su largo en 50 metros, por lo que ahora el terreno es cuadrado.¿En cuántos metros cuadrados aumentó la superficie el terreno?

Solución:

El problema trata sobre el cambio en las dimensiones de un terreno rectangular. En la información se relacionan las dimensiones anteriores mediante el perímetro y luego se habla de nuevas dimensiones, por lo que la declaración de variable en este caso se realiza con las dimensiones anteriores y luego con las actuales.

Longitud del largo del terreno original: x

Longitud del ancho del terreno original: y

Longitud del largo del terreno actual: x - 50

Longitud del ancho del terreno actual: y +50

• La primera información a analizar es: Un terreno rectangular tiene un perímetro de 520 metros. Esta información conduce al planteo de la primera ecuación: $2\left(x+y\right)=520$.

  Ten en cuenta la fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo.

• La segunda información a analizar es: se aumentó su ancho en 50 metros y se disminuyó su largo en 50 metros , por lo que ahora el terreno es cuadrado.

  Según el texto, debes adicionar 50 al ancho y sustraer 50 al largo, por lo que se obtiene un cuadrado. De aquí se deduce que ambos lados serían iguales.

  Esta información conduce al planteo de la segunda ecuación: $x–50=y+50$.

• Planteas el sistema que modela el problema planteado:

  $\begin{array}{}2\left(x+y\right)=520\\ x–50=y+50\end{array}$

• Resuelves el sistema, para ello lo organizas y analizas el método más racional, que en este caso es el de adición - sustracción.

  Método de adición - sustracción^[16].

• Al analizar la pregunta del problema, ¿En cuántos metros cuadrados aumentó la superficie el terreno?, puedes darte cuenta que los valores hallados no constituyen la respuesta por lo que debes:

  1. Calcular el área de cada terreno

     • Como el terreno original es rectangular y sus dimensiones son las que acabas de calcular al resolver el sistema puedes plantear:

       Área del terreno rectangular: $80m\cdot 180m=14400m^2$

     • Se sabe además que el terreno actual es cuadrado por lo que basta con que determines el largo o el ancho según lo que plantea el texto para después determinar su área.

       Longitud del ancho del terreno actual: $180m-50m=130m$

       Área del terreno cuadrado: ${\left(130m\right)}^2=16900m^2$

  2. Para hallar en cuántos metros cuadrados aumentó la superficie, sustraes ambos resultados: $16900m^2–14400m^2=2500m^2$.

     Escribes la respuesta:

     R/ La superficie del terreno aumentó en $2500m^2$.