Relaciones entre conjuntos y elementos [Conjuntos. Relaciones con conjuntos]

Relaciones entre conjuntos y elementos

Como debes conocer de estudios anteriores , los entes que integran un conjunto^[1] pueden ser materiales o no, así por ejemplo, la fauna o la flora de un país , las plantas de un jardín, las naciones de un continente , las banderas de los países , los habitantes de una localidad, el conjunto formado por las figuras planas, entre otros . Cada uno de los seres u objetos que lo integra es un elemento de este lo que hace que hace que los términos elemento y conjunto sean relativos, lo que es conjunto en una unidad determinada es elemento^[2] con relación a otra.

Son ejemplos de conjuntos:

1. El grupo de letras que conforman un alfabeto.

2. Las distintas regiones de un país .

3. Los libros de una biblioteca.

4. Los pares ordenados que pertenecen a una recta.

5. El conjunto de los números naturales pares.

6. Los ríos de un continente.

entre otras

Como puedes observar cada unos de estos conjunto están bien individualizados y determinados lo que significa que para un conjunto A , donde a representa un elementos cualquiera de ese conjunto el cual se denota $a ∈ A a in A$ y se lee a pertenece al conjunto A.

Un aspecto importante a destacar de los conceptos: conjunto y elementos, , es su carácter relativo , es decir, que se puede considerar un conjunto, cuyos elementos a sus vez son conjuntos, como por ejemplo el dos las regiones de un país, cada región es un elementos y a su vez cada región constituye el conjunto de habitantes que la conforman, donde cada habitante, es un elemento de la región.

Algo de historia :

El nacimiento de la La Teoría de Conjuntos tuvo su origen, en el articulo publicado 1874, en el Crelle's Journal por su creador, el matemático alemán Georg Cantor , en este artículo considera el conjunto de los números reales algebraicos, como el conjunto de raíces de una ecuación determinada .

En 1895 7 1897 publica el doble tratado final de la teoría de conjunto, donde aparece el concepto de conjunto de la siguiente forma:

"Se entiende por conjunto, la agrupación de un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o de nuestra mente"

además define el concepto de subconjunto entre otras relacionados con esta teoria.

Cantor continua su trabajo y escribe unas erie inigualable de artículos en los Mathematishe Annalen atacando los problemas de equipotencia, de los conjuntos totalmente ordenados, de las propiedades , de los cardinales^[3] y de los ordinales. Eta nueva teórica causó numerosas reacciones negativa dentro de la sociedad científica pero el persistente trabajo de Cantor y el apoyo personal y científico de Dedekind consiguieron que la Teoría de Conjunto fuera reconocida en el Congreso Internacional de Matemáticas realizado en Zurich en 1897.

La teoría de conjunto, ha resultado ser un importante impacto para el desarrollo de otras áreas de la Matemática, como: la aritmética y en especial la teoria de los números, el manejo actual del infinito, entre otras.

Fundamental :

Cuando es posible enumerar uno y cada uno de los elementos de un conjunto, se dice que el conjunto es finito, sin embargo el conjunto de puntos de un segmento es imposible enumerarlo, luego decimos que este conjunto es infinito

Recuerda que... :

Es importante que tengas presente lo siguiente:

La notación de un conjunto se hace con letra mayúscula.
Los elementos de un conjunto se denotan por letra minúscula.
La pertenecía se establece entre un elemento y el conjunto
Entre dos conjuntos uno pude ser subconjunto del otro, pertenecer solo una parte o ser disjunto^[4]s

Un conjunto puede ser determinado por extensión o descriptiva

: Actividad 1

Escribe en notación tabular los elementos que pertenecen a los conjuntos que se describen a continuación:

a) $A = {x ∈ ℕ; 0 < x < 4} A = lbrace x in setN ;0 < x < 4 rbrace$

b) $B = {x ∈ ℚ; 32 x − 2 = 0} B = lbrace x in setQ; {3} over {2}x-2=0 rbrace$

c) C: El conjunto de los números naturales, cuyo recíproco sea un numero natural.

d) $D = {x ∈ ℤ; x 2 − 9 = 0} D = lbrace x in setZ ;x^{2}-9=0 rbrace$

VERIFICA LA SOLUCIÓN

Atención :

En la notación tabular de un conjunto, no es preciso escribir los elementos en un orden .

La determinación de un conjunto por extensión solo puede hacerse, cuando el conjunto no contiene demasiados elementos, como en el caso de los conjuntos infinitos.

: Actividad 2

Escribe en notación constructiva los conjuntos siguientes:

a) El conjunto D de todos los números enteros, cuyo cuadrado sea menor o igual que 2500 y mayor que 25.

b) El conjunto $M M$ de todos los puntos $P P$ que equidistan de los extremos de un segmento $AB ˉ bar AB$ contenido en un plano $α %alpha$

VERIFICA LA SOLUCIÓN^[5]