Calcula la masa del Sol.

Análisis del problema, solución y respuesta:

La masa del Sol no puede ser medida con una balanza. Pero puede medirse indirectamente haciendo uso de la ley de Gravitación Universal:

$F=G\frac{M_S{m}_T}{R_T^2}$ .....(I)

Se simbolizan las masas del Sol y de la Tierra como M_S  y m_T , respectivamente. y el radio medio de la órbita terrestre como R_T .

Esta es la fuerza centrípeta que obliga a la Tierra a orbitar alrededor del Sol, y su ecuación por la segunda ley del movimiento es:

$F=m_T{a}_c$ .... (II)

Por lo que combinando ambas ecuaciones se puede calcular la masa del Sol.

Al igualar las ecuaciones I y II queda:

$G\frac{M_S{m}_T}{R_T^2}=m_T{a}_c$

Eliminando términos semejantes y despejando la masa del Sol (M_S):

$M_S=\frac{a_c{R}_T^2}{G}$III

Al considerar la órbita de la Tierra una circunferencia, por su poca excentricidad, entonces la aceleración centrípeta de la Tierra queda:

$\begin{array}{c}{a}_c=\frac{v^2}{R_T}\\ v=\frac{2\mathrm{\pi }{R}_T}{T}\end{array}$IV

Sustituyendo las ecuaciones en IV en III queda:

$M_S=\frac{4{\mathrm{\pi }}^2{R}_T^3}{G{T}^2}$

Esta es la ecuación solución que da respuesta al problema planteado.

¿Qué datos se conocen?

- radio medio de la órbita terrestre es R_T = 1,445 · 10¹¹m

- el período de rotación de la Tierra alrededor del Sol es de 1 año, aproximadamente de 3,156 · 10⁷ s

- Constante de Cavendish: $G=\mathrm{6,67}·{10}^{-11}\frac{N{m}^2}{{\mathit{kg}}^2}$

Sustituyendo por los datos conocidos y resolviendo la operaciones planteadas queda:

$M_S=\frac{4{(\mathrm{3,14})}^2{(\mathrm{1,445}·{10}^{11}m)}^3}{\mathrm{6,67}·{10}^{-11}\frac{N{m}^2}{{\mathit{kg}}^2}{(\mathrm{3,156}·{10}^{7}s)}^2}$

Sustituyendo por datos y resolviendo las operaciones planteadas:

$M_{\mathit{Sol}}=\mathrm{1,98}·{10}^{30}\mathit{kg}$

La masa del Sol es aproximadamente 2 · 10³⁰kg, determinada por métodos indirectos, al aplicar la ley de Gravitación Universal.