Por un plano inclinado de 2,4 m de longitud y 1,2 m de altura hay que bajar un cuerpo (bloque) de 2,5 kg con velocidad constante. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie del plano es 0,4.

a) ¿Será preciso empujar el cuerpo hacia abajo o tirar de él hacia arriba? Argumenta tu respuesta.

b) ¿Qué fuerza paralela al plano es necesaria para obtener el movimiento con velocidad constante?

Análisis del problema:

Primero debemos hacer un análisis y diagrama de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que se quiere bajar con velocidad constante. Sobre el cuerpo actúan la fuerza de gravedad, la fuerza normal al plano inclinado, la fuerza de fricción y la fuerza F, necesaria para bajar al cuerpo por el plano con velocidad constante. Para solucionar este problema se debe aplicar la segunda ley del movimiento ($\overrightarrow{F_{\mathit{res}}}=m\vec{a}$), la condición que debe cumplir un cuerpo que se mueva con movimiento rectilíneo uniforme (F_res= 0)y la ecuación para determinar la fuerza de fricción cinética ($f_r={\mathrm{\mu }}_{c}N$).

Solución y respuesta:

Se debe descomponer la fuerza de gravedad que actúa en la dirección vertical hacia abajo en sus componentes en la dirección paralela al plano y en la dirección perpendicular al plano para que todas las fuerzas estén en las direcciones x-y, es decir, en la dirección del movimiento del cuerpo que debe bajar a lo largo el plano y en la dirección perpendicular a esta.

La dirección en que se moverá el bloque es paralela al plano inclinado, en la dirección del eje x. Las fuerzas que actúan en esta dirección sobre el cuerpo son F_gx y la f

Si el cuerpo debe bajar con movimiento rectilíneo uniforme las fuerzas en esta dirección deben estar equilibradas y su resultante ser nula.

Si F_gxes mayor que f_r entonces hay que tirar del cuerpo hacia arriba y si la F_gxes menor que f_r hay que empujar el cuerpo hacia abajo.

Se debe determinar el valor de la componente de la fuerza de gravedad en y de la fuerza de fricción:

Para calcular la componente de la fuerza de gravedad en la dirección del eje x:

$F_{\mathit{gx}}=\mathit{mg}\mathit{sen}\mathrm{\alpha }$

Según el diagrama de fuerzas y los datos del plano inclinado se tiene que:

$\begin{array}{c}\mathit{sen}\mathrm{\theta }=\frac{\mathrm{1,2}m}{\mathrm{2,4}m}\\ \mathit{sen}\mathrm{\theta }=\mathrm{0,5}\end{array}$

entonces θ = 30^o

Para calcular la fuerza de fricción cinética:

$f_r={\mathrm{\mu }}_{c}N$(1)

Para calcular la fuerza normal, se aplica la segunda ley del movimiento en la dirección del eje "y":

$\begin{array}{c}N=F_{\mathit{gy}}\\ N=\mathit{mg}\cos \mathrm{\alpha }\end{array}$(2)

Sustituyendo (2) en (1) queda:

$f_r=\mathrm{\mu }(\mathit{mg}\cos \mathrm{\alpha })$

Se sustituye por los datos y se calcula el valor de cada una de estas fuerzas:

$F_{\mathit{gx}}=\mathit{mg}\mathit{sen}\mathrm{\alpha }$ ; sen 30^o= 0,5

$\begin{array}{c}{F}_{\mathit{gx}}=\mathrm{2,5}\mathit{kg}·\mathrm{9,8}\frac{m}{s^2}·\mathrm{0,5}\\ F_{\mathit{gx}}=\mathrm{12,25}N\end{array}$

$f_r=\mathrm{\mu }(\mathit{mg}\cos \mathrm{\alpha })$cos 30^o≈ 0,86

$\begin{array}{c}{f}_r=\mathrm{0,4}(\mathrm{2,5}\mathit{kg}·\mathrm{9,8}\frac{m}{s^2}·\mathrm{0,86})\\ f_r=\mathrm{8,428}N\end{array}$

$F_{\mathit{gx}}>f_r$

Entonces debe tirarse del cuerpo hacia arriba con una fuerza que, junto a la fuerza de fricción, equilibre a la componente de la fuerza de gravedad en x:

$\begin{array}{c}F=F_{\mathit{gx}}-f_r\\ F=\mathrm{12,25}N-\mathrm{8,42}N\end{array}$

Resolviendo la operación planteada queda:

$F=\mathrm{3,8}N$

La fuerza con la que se debe tirar del cuerpo hacia arriba para que lograr que el cuerpo baje con movimiento rectilíneo uniforme por el plano inclinado es de 3,8 N.