Método del paralelogramo

Estudio de caso : inciso a)

Encuentra, por el método del paralelogramo en forma gráfica y analítica la suma de dos vectores concurrentes $\vec{a}$ y $\vec{b}$ si :

a) a = 10 u, b = 20 u y están desfasado 90⁰

Datos
$\vec{a}$ a = 10u α - ángulo entre el vector $\vec{a}$ y el eje x α = 0⁰ $\vec{b}$ b = 20u θ - ángulo entre el vector $\vec{a}$ y $\vec{b}$ θ = 90⁰	incógnitas $\vec{R} = ?$ β - ángulo entre el vector $\vec{R}$ y el eje x β = ?

MÉTODO GRÁFICO

Paso 1

Tracemos un sistema de ejes cartesianos

Paso 2

Seleccionamos una escala, en este caso tomamos:

1 cm = 5 u

Paso 3

Dibujemos los vectores $\vec{a} y \vec{b}$

Como el ángulo entre los vectores es de 90⁰, haremos coincidir la dirección y sentido del vector $\vec{a}$ con el eje x y el $\vec{b}$ con el eje y, desde el origen tracemos los segmentos orientados correspondientes, teniendo en cuenta la escala.

Paso 4

Para determinar la suma de los vectores utilicemos el método del paralelogramo.

Tracemos una paralela al vector $\vec{a}$ desde el extremo del vector $\vec{b}$ y una paralela a $\vec{b}$ desde el extremo de $\vec{a}$ , el vector suma $\vec{R}$ tiene su origen común con los vectores $\vec{a} y \vec{b}$ y su extremo en el punto de intersección de las paralelas .

Paso 5

Con una regla medimos la longitud de $\vec{R}$ y con el trasportador el ángulo entre $\vec{R}$ y el eje x

R=4.6 cm , teniendo en cuenta la escala seleccionada, (4.6 ∙ 5= 23), R = 23 u

Para medir el ángulo coloquemos el cero del transportador coincidiendo con el punto de origen y el lado en el eje x.

α= 63⁰

Respuesta

El vector suma $\vec{R}$ tiene un valor numérico igual a R=23 u y forma un ángulo de 63⁰ con relación al eje positivo de las x

MÉTODO ANALÍTICO

Utilizamos el método de las componentes

Paso 1

Hallamos el valor de las componentes de los vectores $\vec{a} y \vec{b}$

a_x= a cos⁡ α ; a_y=a sen⁡α

a_x= 10 cos⁡ 0⁰ = 10; ya que cos⁡ 0⁰ = 1

a_y= 0; ya que sen⁡ 0⁰ = 0

b_x= b cos⁡θ ; b_y= b sen ⁡θ

b_x=0 ; ya que cos ⁡90⁰=0

b_Y=20 ; ya que sen 90⁰=1

Paso 2

Hallamos las componentes del vector $\vec{R}$

R_x= a_x + b_x= 10 + 0= 10

R_y= a_y + b_y= 0 + 20= 20

Paso 3

Hallamos el valor numérico de $\vec{R}$

Paso 4

Para determinar el ángulo entre $\vec{R}$ y el eje x, calculemos la tangente del ángulo β

Paso 5

Sustituyendo los valores

Con una calculadora científica hallamos el valor del ángulo correspondiente a esta tangente.

β= 64⁰

Respuesta

El vector suma $\vec{R}$ tiene un valor numérico igual a R=23.6 u y forma un ángulo de 64⁰ con relación al eje positivo de las x.

Como se observa hay pequeñas discrepancias entre los valores obtenidos por el método gráfico y el analítico relacionadas con errores asociados al proceso de medición.

Estudio de caso : inciso b)

Encuentra, por el método del paralelogramo en forma gráfica y analítica la suma de dos vectores concurrentes $\vec{a}$ y $\vec{b}$ si :

b) a = 10 u, b = 20 u, $\vec{a}$ está dirigido horizontalmente y el vector $\vec{b}$ está desfasado en 60⁰.

Datos
$\vec{a}$ a = 10u α-ángulo entre $\vec{a}$ y el eje x α = 0⁰ $\vec{b}$ b = 20u θ - ángulo entre el vector $\vec{a}$ y $\vec{b}$ θ = 60⁰	incógnitas $\vec{R} = ?$ β - ángulo entre el vector $\vec{R}$ y el eje x β = ?

MÉTODO GRÁFICO

Paso 1

Tracemos un sistema de ejes cartesianos

Paso 2

Seleccionamos una escala, en este caso tomamos:

1 cm = 5 u

Paso 3

Dibujemos los vectores $\vec{a} y \vec{b}$

Tracemos el vector $\vec{a}$ haciendo coincidir su origen con el origen del sistema, su dirección y sentido coincide con el eje x (α= 0⁰) , con ayuda de la regla y el transportador tracemos el vector $\vec{b}$ , teniendo en cuenta la escala tomada y el valor del ángulo : θ= 60⁰

Paso 4

Para determinar la suma de los vectores utilicemos el método del paralelogramo.

FALTA IMAGEN

Paso 5

Con una regla medimos la longitud de $\vec{R}$ y con el trasportador el ángulo entre $\vec{R}$ y el eje x.

R= 5.4 cm , teniendo en cuenta la escala seleccionada, (5.4 ∙ 5 = 27) R = 27 u

Para medir el ángulo coloquemos el cero del transportador coincidiendo con el punto de origen y el lado en el eje x.

α= 42⁰

Respuesta

El vector suma $\vec{R}$ tiene un valor numérico igual a R=27 u y forma un ángulo de 42⁰ con relación al eje positivo de las x.

MÉTODO ANALÍTICO

Utilizamos el método de las componentes

Paso 1

Hallamos el valor de las componentes de los vectores $\vec{a} y \vec{b}$

a_x= a cos⁡ α ; a_y= a sen ⁡α

a_x= 10 cos⁡ 0⁰ = 10; ya que cos⁡ 0⁰ = 1

a_y= 0; ya que sen⁡ 0⁰ = 0

b_x= b cos ⁡θ ; b_y= b sen ⁡θ

b_x= 20 cos⁡ 60⁰ = 10; ya que cos ⁡60⁰ = 0,5

b_y=20 sen 60⁰ = 17.32; ya que sen 60⁰= 0.86

Paso 2

Hallamos las componentes del vector $\vec{R}$

R_x= a_x + b_x= 10 + 10= 20

R_y= a_y + b_y= 0 + 17.32 = 17.32

Paso 3

Hallamos el valor numérico de $\vec{R}$

Paso 4

Para determinar el ángulo entre $\vec{R}$ y el eje x, calculemos la tangente del ángulo β

Paso 5

Sustituyendo los valores

Con una calculadora científica buscamos el valor del ángulo correspondiente a esta tangente .

β=41⁰

Respuesta

El vector suma $\vec{R}$ tiene un valor numérico igual a R= 26.45 u y forma un ángulo de 41⁰ con relación al eje positivo de las x.

Como se observa hay pequeñas discrepancias entre los valores obtenidos por el método gráfico y el analítico relacionadas con errores asociados al proceso de medición.