Ejemplo

Ejemplo :

En la siguiente figura, donde $M$ y $N$ son puntos de la $C (O; \bar{RO})$ , $\bar{RO} ⊥ \bar{MN}$ en $P$ , $\bar{PR} = 1,0 cm$ , $\bar{RO} = 4,0 cm$ y $P_{△ MON} = 14 cm$ .

a) ¿A qué distancia se encuentra los puntos $O$ , $M$ , $N$ y $R$ del punto $P$ ?

b) Si trazamos por el punto $R$ una recta tangente a la circunferencia, ¿en qué posición se encontrará esta con respecto a $\bar{MN}$ ?

Solución

a) Situamos en la figura dada los datos dados como ayuda para el análisis a realizar.

$\bar{RO} = 4,0 cm$ por ser radios de la circunferencia.

$\bar{RO} = \bar{PR} + \bar{OP}$ por suma de segmentos

$\begin{matrix} \bar{OP} = \bar{RO} - \bar{PR} \\ \bar{OP} = 4,0 cm - 1,0 cm \\ \bar{OP} = 3,0 cm \end{matrix}$

Para hallar la longitud de $\bar{MN}$ utilizamos que $P_{△ MON} = 14 cm$ pues:

$P_{△ MON} = 2 \cdot \bar{OM} + \bar{MN}$

Sustituyendo y despejando

$\begin{matrix} \bar{MN} = 14 cm - 2 \cdot 4,0 cm \\ \bar{MN} = 6,0 cm \end{matrix}$

Como el $△ MON$ es isósceles de base $\bar{MN}$ por ser $\bar{MO}$ y $\bar{NO}$ radios de la circunferencia y $\bar{RO} ⊥ \bar{MN}$ , entonces $\bar{OP}$ es mediatriz de $\bar{MN}$ por lo que:

$\bar{MP} = \bar{PN} = 3,0 cm$

Luego los puntos $O$ , $M$ y $N$ se encuentran a $3,0 cm$ de $P$ y el punto $R$ a $1,0 cm$ .

b) En la figura se muestra la recta tangente la circunferencia trazada por el punto $R$ .

$t ⊥ \bar{RO}$ , porque la tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

$\bar{RO} ⊥ \bar{MN}$ , por dato.

$t ∥ \bar{MN}$ , por ser perpendiculares a $\bar{RO}$ .